Développé de réduction excentrique (décalée)

Une réduction excentrique est un développé classique : les vieux recueils de développés traitent des bouts ronds et parallèles placés hors centre comme le tronc d’un cône scalène (oblique), et le développent par triangulation à partir du sommet — des droites de longueur vraie rayonnant du sommet, tracées triangle par triangle avec la corde de division entre elles (Kittredge, The New Metal Worker Pattern Book, 1901, problème 167, pp. 311–312; le cône oblique lui-même est le problème 163, pp. 306–308; les deux ouvrages sont du domaine public).

Sans le sommet, la même pièce se triangule directement entre les deux bouts : les deux sont divisés en parties égales, reliés par des génératrices et des diagonales dont les longueurs vraies viennent de diagrammes de triangles rectangles, et tracés quadrilatère par quadrilatère (Kidder, Triangulation Applied to Sheet Metal Pattern Cutting, 1917, chap. VI). C’est la voie pratique quand les bouts sont de taille voisine, parce que le rayon du sommet devient très long (Atkins, Practical Sheet and Plate Metal Work, 2e éd., p. 117). Le tableau de cette page donne les longueurs pour les deux méthodes.

Pourquoi c’est un cône

Divisez les deux bouts en un même nombre de parties égales et reliez les points correspondants. Comme les bouts sont des cercles parallèles, toutes ces droites passent par un même point : le petit bout est le grand bout réduit du rapport D2 / D1 vers ce point. Ce point est le sommet d’un cône oblique, et la réduction en est la tranche entre les deux plans des bouts. Un cône se déroule à plat sans étirement : il n’existe donc qu’un seul développé exact.

Le développer exactement

Autour du sommet, chaque droite vers le grand bout garde sa longueur vraie, et l’angle entre deux droites voisines dans le développé est l’angle entre elles dans l’espace — additionné tout le tour par intégration numérique, à la précision de la machine. Le petit bout se trouve sur les mêmes droites, à D2 / D1 de la distance. Les méthodes à la main s’en approchent à mesure que leurs divisions deviennent plus fines.

Comment cet outil est vérifié

Longueurs vraies calculées à la main; le cas concentrique comparé au secteur en forme close de l’outil de cône (même angle, mêmes rayons, même aire); invariants d’un développement exact — les deux bords se déroulent en π × D, l’aire du développé égale l’aire de la surface calculée séparément en 3D, l’angle du développé égale l’angle au sommet additionné à partir des droites 3D, et déplacer la couture n’en change aucun. Une seconde implémentation, écrite séparément en Python, n’utilise jamais le sommet : elle triangule entre les deux bouts avec 8 192 divisions, déroule la bande triangle par triangle à partir des longueurs vraies, et doit retomber sur le DXF exporté, relu avec ezdxf, à 0.002 mm près à chaque sommet — après seulement une rotation et un déplacement, de sorte qu’un développé tracé à partir de la mauvaise face échouerait. Elle s’exécute à chaque version.

Exact ou approximatif

La surface est développée exactement par intégration numérique autour du sommet, et non par l’approximation d’atelier de quelques triangles plans; les bords courbes sont des polylignes échantillonnées tenues dans l’écart maximal que vous fixez.

Ce qui n’est pas couvert

Les bouts non parallèles ou non ronds, l’épaisseur et les surépaisseurs de joint, et le retour élastique du formage. Pour un bout carré ou rectangulaire, utilisez l’outil de transition carré-rond; pour un cône concentrique avec compensation de l’épaisseur de la plaque, l’outil de cône.