Tracer une réduction excentrique à la main

Ce que vous fabriquez

L’exemple résolu est une réduction à dessus plat : une grande extrémité de 300 mm, une petite de 150 mm, 200 mm d’écart, la petite extrémité décalée de (300 − 150) ÷ 2 = 75 mm pour qu’un côté reste bien vertical — la réduction habituelle sur l’aspiration d’une pompe ou sur un conduit qui doit garder un côté plat. Pour une plaque, travaillez avec les diamètres à mi-épaisseur; pour de la tôle mince, la différence est faible.

Méthode 1 — à partir du sommet

La méthode classique : la réduction est traitée comme un cône oblique entier dont on a coupé la pointe, tracé avec des lignes rayonnant depuis le sommet (Kittredge, problèmes 163 et 167). Utilisez-la quand le sommet tient sur votre feuille ou sur le plancher.

1. Trouver le sommet

Prolongez les deux côtés de la vue de côté jusqu’à ce qu’ils se rencontrent. Par triangles semblables, le sommet se trouve à D1 ÷ (D1 − D2) fois la hauteur au-dessus de la grande extrémité — 300 ÷ 150 × 200 = 400.00 — et au même facteur fois le décalage, de côté, à partir du centre de la grande extrémité : 2 × 75 = 150.00, ce qui, sur une réduction à dessus plat, est droit au-dessus du côté court.

2. Diviser la grande extrémité

Divisez la grande extrémité en parties égales — douze ici, à 30° d’écart — et numérotez-les à partir du joint. Avec le joint sur le côté court, la ligne 0 est le côté court et la ligne 6 le côté long.

3. Trouver la vraie longueur de chaque ligne depuis le sommet

Seules les lignes 0 et 6 montrent leur vraie longueur dans la vue de côté; les autres penchent vers vous ou s’éloignent de vous. Trouvez chacune par un triangle rectangle : un côté est la hauteur du sommet, l’autre la distance, en plan, du point situé sous le sommet au point de division. La ligne 3, par exemple : en plan, de (150, 0) à (0, 150), c’est √(150² + 150²) = 212.13, donc la vraie longueur est √(400² + 212.13²) = 452.77. La pièce étant symétrique, les lignes 7 à 11 répètent les lignes 5 à 1.

La petite extrémité se trouve sur les mêmes lignes à D2 ÷ D1 de la distance — exactement la moitié ici.

4. Tracer les lignes

Marquez le sommet sur la feuille et tracez la ligne 0, longue de 400.00. Du sommet, décrivez un arc de la longueur de la ligne 1; de l’extrémité de la ligne 0, décrivez le pas jusqu’au point suivant; là où les arcs se croisent se trouve le point 1. Continuez jusqu’au point 12, qui revient à la longueur de la ligne 0. Reliez les points par une courbe lisse.

La correction : reporter les pas du développé, pas la corde du plan

Les manuels reportent l’espacement entre les divisions directement depuis le plan — ici la corde 77.65. Cela construit le développé avec des triangles plats inscrits dans le cône et — une corde étant toujours plus courte que son arc, comme le note Kidder (p. 66) — il sort trop court : douze de ces pas donnent 931.75, alors que le grand bord doit mesurer π × 300 = 942.48. La distance entre points voisins sur le vrai développé est un peu plus longue que la corde sur la pièce ronde — 78.54 près du côté court, 78.23 près du côté long — et douze de ceux-ci donnent 940.85, la courbe lisse passant par eux faisant les 942.48 complets. La différence, environ 9 mm sur cette pièce, représente à peu près 1 % : assez pour laisser un écart au joint. Le tableau de l’outil donne ces pas du développé pour chaque ligne.

5. Marquer la petite extrémité

Sur chaque ligne, mesurez à partir du sommet la longueur sommet-petite extrémité ou — c’est le même point — une longueur de génératrice à partir du grand bord : 200.00 sur la ligne 0, 250.00 sur la ligne 6. Reliez ces points par une courbe lisse.

6. Vérifier avant de couper

Courbez une règle souple le long des bords : le grand bord doit mesurer π × 300 = 942.48, le petit π × 150 = 471.24, et les deux lignes de joint 200.00. Le développé fini de cette pièce entre dans un flan d’environ 681.93 × 395.43.

Méthode 2 — triangulation entre les extrémités

Quand les deux extrémités sont de taille voisine, le sommet est loin : une réduction de 300 à 290, de 200 de haut, a son sommet à 6.00 m plus haut. Atkins qualifie la méthode radiale de « assez peu pratique » pour cette raison précise (p. 117), et la pièce est plutôt triangulée entre les deux extrémités, quadrilatère par quadrilatère, sans le sommet (Kidder, ch. VI; Coey, « Off-Centre Round Taper »).

1. Diviser les deux extrémités de la même façon

Divisez les deux extrémités en un même nombre de parties égales et numérotez-les de la même façon à partir du joint. Reliez les points correspondants par des génératrices (grande 1 à petite 1, et ainsi de suite) et chaque point de la grande extrémité au point suivant de la petite par une diagonale.

2. Trouver les vraies longueurs

Chaque génératrice et chaque diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle : la hauteur entre les extrémités et sa longueur en plan. La génératrice 6 va, en plan, de (−150, 0) à (0, 0); sa vraie longueur est donc √(150² + 200²) = 250.00.

3. Construire la bande

Tracez la génératrice 0. De sa petite extrémité, décrivez le pas du petit bord; de sa grande extrémité, décrivez la diagonale; là où elles se croisent se trouve le point 1 de la petite extrémité. Du point 1 de la petite extrémité, décrivez la génératrice 1, et du point 0 de la grande extrémité le pas du grand bord : là où elles se croisent se trouve le point 1 de la grande extrémité. Répétez jusqu’au joint.

La même correction s’applique. Un diagramme de vraies longueurs des manuels donne la diagonale droite en travers de la pièce (ligne 0 : 203.73) et les cordes du plan donnent les pas; ensemble, elles construisent des facettes planes et la bande sort environ 1 % trop courte sur les bords. Les diagonales et les pas du tableau sont mesurés sur le développé exact, de sorte que chaque point tombe où il le doit. Les génératrices sont des droites sur la pièce et n’ont besoin d’aucune correction.

Erreurs courantes

• Prendre pour vraie longueur, d’après la vue de côté, toute ligne autre que les deux situées dans le plan de la vue de côté.
• Mesurer le décalage ailleurs que centre à centre en plan.
• Travailler aux diamètres extérieurs d’une plaque épaisse plutôt qu’à mi-épaisseur.
• Reporter des cordes du plan et constater que le joint ne se ferme pas — voir la correction ci-dessus.

Comment cela correspond à l’outil

L’outil de réduction excentrique développe le cône exactement, par intégration numérique autour du sommet, et un programme distinct le vérifie par triangulation entre les extrémités avec 8 192 divisions. Tracées à la main avec les pas du tableau, la méthode 1 et la méthode 2 placent leurs points sur ce même contour exact. Chaque nombre de cette page a été produit par le code même de l’outil lors de la compilation de la page.

Sources

1. G. W. Kittredge, The New Metal Worker Pattern Book (1901), Problem 167, pp. 311–312: round ends, parallel, placed eccentrically — the frustum of a scalene cone
2. Kittredge (1901), Problem 163, pp. 306–308: the envelope of a scalene cone, true lengths by right triangles, stepped triangle by triangle
3. J. S. Daugherty, Sheet-Metal Pattern Drafting and Shop Problems (1922), Ch. VII, Problem 75, pp. 96–99: scalene or oblique cone and its frustum
4. F. S. Kidder, Triangulation Applied to Sheet Metal Pattern Cutting (1917), Ch. VI, pp. 41–49: the frustum of an oblique cone triangulated between the ends, without the apex
5. E. A. Atkins, Practical Sheet and Plate Metal Work, 2nd ed. (Pitman, undated), p. 117: radial methods inconvenient when the taper is slight, because of the long radius
6. B. Coey, Pattern Development: Sheet Metal Level 1 (BCcampus, 2021, CC BY 4.0), “Off-Centre Round Taper”: an offset round-to-round triangulated directly
7. Kidder (1917), p. 66: a chord is always shorter than its arc, so spaces stepped off a drawn circle very likely come to something less than its circumference