Tracer un cône ou un tronc de cône à la main

Ce que vous fabriquez

L’exemple résolu est un tronc de cône — un cône dont on a coupé la pointe — avec une grande extrémité de 600, une petite de 300 et 400 entre les deux. Pour une plaque, travaillez avec les diamètres à mi-épaisseur; l’outil de cône peut convertir les dimensions intérieures ou extérieures pour vous.

1. Longueur de la génératrice

Dans l’élévation, le côté incliné montre sa vraie longueur (Coey, partie III). Par Pythagore, avec la différence des rayons et la hauteur : √((300 − 150)² + 400²) = 427.20.

2. Les deux rayons du développé

Prolongez les côtés jusqu’au sommet. Par triangles semblables, le rayon extérieur — du sommet à la grande extrémité, le long du côté — est le grand rayon multiplié par la génératrice et divisé par la différence des rayons : 300 × 427.20 ÷ 150 = 854.40. Le rayon intérieur est ce nombre moins la génératrice : 427.20. Un cône complet n’a pas de rayon intérieur.

3. L’angle du secteur

L’arc extérieur doit avoir la longueur de la circonférence de la grande extrémité; l’angle est donc 360° × le grand rayon ÷ le rayon extérieur du développé — la règle d’Atkins pour un cône, avec la génératrice prolongée du tronc (Atkins, p. 104) : 360 × 300 ÷ 854.40 = 126.40°.

4. Le traçage

D’un même centre, tracez les deux arcs, 854.40 et 427.20, un peu plus longs que nécessaire. Tracez une ligne radiale du centre à travers les deux. Maintenant, au lieu de reporter des pas le long de l’arc, fixez l’autre extrémité par une seule mesure : la distance en ligne droite entre les extrémités de l’arc extérieur est 2 × R × sin(angle ÷ 2) = 2 × 854.40 × sin 63.20° = 1525.28. Reportez-la à partir de l’endroit où la première ligne coupe l’arc extérieur, puis tracez la seconde ligne radiale vers le centre. Vérifiez sur l’arc intérieur : 762.64.

Pourquoi ne pas reporter des pas le long de l’arc?

Les manuels divisent le plan de la grande extrémité en parties et les reportent sur l’arc extérieur : Coey en douze (ch. 20 et 22), Daugherty en seize (problème 43), Kittredge en « une partie aussi petite qu’il est commode » (problème 122). Prenons douze, comme Coey. Chaque partie est une corde du cercle de base, 155.29 ici, et une corde est plus courte que son arc (Kidder, p. 66) : douze d’entre elles n’atteignent que 125.14° des 126.40° requis, et il manque environ 18.88 au développé à la jonction. Le conseil de Kittredge est de reporter « une partie aussi petite qu’il est commode ». Si vous reportez des pas, utilisez l’espacement mesuré sur le développé — 156.86 pour douze parties ici — ou évitez les pas et utilisez la corde sur tout le secteur, comme ci-dessus. Atkins note que le travail par les règles donne généralement des résultats plus exacts que la mesure le long de l’arc (p. 105).

5. Vérifiez avant de couper

L’arc extérieur doit mesurer π × 600 = 1884.96 le long de la courbe, l’arc intérieur π × 300 = 942.48, et chaque bord radial la génératrice, 427.20. Ajoutez toute surépaisseur de jonction ou de recouvrement à l’extérieur du développé; aucune n’est incluse ici.

Trop grand pour une seule plaque?

Divisez le développé en segments identiques. Chacun garde les deux rayons et prend une part égale de l’angle — ici trois segments de 42.13° — et se trace de la même façon : deux arcs du même centre, une ligne radiale, et la corde sur l’arc extérieur du segment, 614.26, pour fixer l’autre. Un segment demande un morceau de plaque d’environ 614.26 × 455.76. L’outil de cône en segments trouve le plus petit nombre de segments qui entrent dans votre plaque.

Quand le dessin donne une pente, et non une hauteur

Les dessins donnent souvent la pente du côté plutôt que la hauteur. Avec la différence des rayons ΔR, un côté incliné d’un angle α au-dessus de l’horizontale monte de ΔR × tan α sur la hauteur du cône et s’étend de ΔR ÷ cos α le long de la génératrice; l’angle du secteur vaut alors 360° × cos α. Ainsi, un cône à côtés de 60° se déroule toujours en exactement un demi-anneau, quelle que soit sa taille, et un cône à côtés de 45° en 360° × 0.7071 = 254.56°. L’outil de cône accepte directement la génératrice, la pente du côté ou l’angle au sommet.

Erreurs courantes

• Prendre la hauteur verticale comme rayon du développé — c’est la génératrice, mesurée jusqu’au sommet.
• Lire l’angle d’un cône sur la mauvaise ligne : une pente par rapport à l’horizontale, un angle de paroi par rapport à l’axe et un angle au sommet sont trois nombres différents pour un même cône.
• Pour un tronc de cône, tracer les deux arcs de centres différents. Les deux viennent du sommet.
• Travailler au diamètre extérieur d’une plaque épaisse : le développé sort trop long. Utilisez la mi-épaisseur.
• Reporter des cordes du plan le long d’un grand arc et constater que la jonction ne se ferme pas.

Comment cela correspond à l’outil

L’outil de cône calcule les mêmes rayons, le même angle et la même corde sous forme fermée, trace les arcs en vrais arcs dans le DXF, et peut aussi faire la conversion d’épaisseur et les lignes de pliage à la presse plieuse. Chaque nombre de cette page a été produit par le code même de l’outil lors de la compilation de la page.

Sources

1. B. Coey, Pattern Development: Sheet Metal Level 1 (BCcampus, 2021, CC BY 4.0), Ch. 20 “Right Cone”, pp. 69–72
2. Coey (2021), Ch. 22 “Frustum of a Cone”, pp. 77–80: both slant heights swung from one radius point
3. G. W. Kittredge, The New Metal Worker Pattern Book (1901), Problems 122–123, pp. 249–251: envelope of a right cone and of its frustum
4. J. S. Daugherty, Sheet-Metal Pattern Drafting and Shop Problems (1922), Problem 43 “Pattern for Cone and Frustum”, pp. 65–66
5. E. A. Atkins, Practical Sheet and Plate Metal Work, 2nd ed. (Pitman, undated), Ch. XII, p. 104: the sector angle = 360 × base radius ÷ slant height
6. F. S. Kidder, Triangulation Applied to Sheet Metal Pattern Cutting (1917), p. 66: a chord is always shorter than its arc